正方形を制するものは二次方程式を制する［こんな先生に教えてほしい］

毎週のように学校を訪ね、たくさんの授業を見ています。そして、先生方から授業への想いを聞いています。「NHKデジタル教材」という番組とWebを組み合わせた教材作りや、全国のとびきりの授業を伝える番組を制作するためです。そのなかで、「こんな先生に教えてほしい」と思った先生方のことを書かせていただきます。

今回紹介する授業は、中学3年生の数学の授業で、二次方程式についてです。
この二次方程式は、中学校で習う数学のさまざまな内容が含まれているものです。どんな風に解くのか覚えていますか？　苦手と思っている人も多いと思います。
でも三重県のm先生の二次方程式の授業は、「なんてわかりやすくて、楽しいんだ！」と納得の連続でした。
m先生の理想は、毎時間毎時間、「勉強して、本来の意味で賢くなれた」「勉強をして、する前の自分より成長できた」と実感できること、そして、何よりも「楽しく勉強できた」と子どもたちが思ってくれることだそうです。

さて、どんな授業かというと、
「正方形を制するものは、二次方程式を制する」
という言葉で表せます。

二次方程式とは、たとえばax2＋bx＋c＝0のように、xの2乗を含む式で、xが何かを求めるものです。
生徒たちは、x2＝aとなれば、xを求めることができるという段階まで到達しています。つまり、x2＝3ならxは2乗すると3になる数。言葉を換えれば、面積が3の正方形の1辺を求めることを理解しています。
x2＝3ならば、その答えは、x＝±√3です。

さて、授業は、中世のアラビアの数学者で代数を発達させた、アル＝フワーリズミーから挑戦状が届いたという設定で始まりました。
挑戦状の内容は次の通りです。
「ある数の2乗とその数の10倍との和が39に等しい。ある数はいくらか？」
これは、土地の分割のために考えた問題と言われています。式にすると、x2＋10x＝39　です。ただ、当時は、式がなかったので、先生は、「図を使って考えるように」という指示を出しました。そして、手作りの3種類の教材を配ります。
・面積がx2のタイルを1枚
・面積がxのタイルを10枚
・面積が1の正方形のタイルを25枚

1枚

10枚

25枚

中学生たちのほとんどが、まずx2とxのタイルだけを使いました。すると、どうしても下記のような形になります。



　　や、



など。
つまり、長方形にしかならないのです。
みんなは、正方形を作ろうとしていました。既に習っていたx2＝aという正方形の1辺を求める手法を思い出したのです。習ったことを活かすことは、「考える力」をつける第一歩です。
しばらくすると、x2とxのタイルだけでは、解決の糸口が見えてこないことに気付き、面積が1のタイルを使い始める生徒が出てきました。
たとえば、こんな形です。



1を使って正方形を作っても、xを10枚使うのはなかなか難しいことでした。でも、みんなで考えていくうちにあるアイデアが生まれました。



x2＋10x＝39　ということからすると、上の図＞39です。
上の図は、x2＋10x＋25です。
そこで、x2＋10x＋25＝39＋25＝64という式にすることができます。
次に、上の図の正方形の1辺を見てください。x＋5です。
x2＋10x＋25＝（x＋5）2となります。
つまり、（x＋5）2＝64となります。
ここまでくると、正方形の辺の長さを求める要領でxを出すことができます。
（x＋5）2＝64
（x＋5）＝±√64
（x＋5）＝±8

(1)
　x＋5＝＋8
　　　x＝8－5
　　　x＝3

(2)
　x＋5＝－8
　　　x＝－8－5
　　　x＝－13

つまり、Xは、3または、－13となります。

実は、この方法を使うと中学校で習う二次方程式は、すべて解くことができるそうです。
最後に、m先生の言葉を二つ。
「意味なく暗記したモノは、すぐに忘れる。でも、体を使い五感を使って学んだモノは、忘れない」
「数学の勉強は、試験や成績などのためにしかたなくやるものではなく、数学という人類のかけがえのない共通財産に参加することだ」
ちょっと、「数学やってみようかな」と思ったのはわたしだけでしょうか？