算数「速さ(旅人算・通過算)」[中学受験]

算数の「速さ」の単元から、「旅人算」「通過算」を取り上げます。実際の中学入試でも出題頻度の高い単元で、さまざまな中学校が工夫を凝らした問題を作成しています。
どの教科・単元にもいえることですが、「速さ」の単元も、攻略のカギはまず基本をおさえること。公式をしっかりと覚え、さまざまな問題にくり返し取り組むこと。問題文をよく読み、どの公式を当てはめることができるかを読み解く力を養うことで、「答えを導き出すための考え方」を身につけることができます。
今回もツカム先生といっしょに、楽しみながら学習していきましょう。


■算数「速さ(旅人算・通過算)」

こんにちは、合格総理大臣ミスター・ツカムです。
「速さ」の単元はいくつかの種類に分かれて問題があります。
例えば、旅人算・通過算・時計算・流水算・速さと比・速さのつるかめ算…などです。
「ええっ! そんなにあるの?」って、おどろかないでくださいね。基本をしっかりおさえておいたら大丈夫(だいじょうぶ)です。わかりやすいように図にかいて整理してみますね。


<速さ>の問題の種類




このような関係になっていますよ。
まず、「速さの3公式」を完ぺきに定着させること。それから、「旅人算」が定着していないと、「通過算」「時計算」「流水算」は理解できない…ということなんです。
おどかしているわけじゃあ、ありませんよ。逆に言えば、「旅人算」がしっかり理解できれば、「通過算」「時計算」「流水算」はおそれることはない! …です。
それでは、今回も入試問題を考えながらしっかりマスターして、この単元をキミのモノにしてくださいね。



問題1
池のまわりに1周4kmの道があります。この道を、A、B、Cの3人がAとBは同じ向き、Cは2人と逆向きに、それぞれ一定の速さで走っています。Aは分速250mで走っていて、AはBに40分ごとに追いぬかれ、AとCは10分ごとに出会います。
このとき、次の問いに答えなさい。

  (1)B、Cの分速をそれぞれ求めなさい。  B(分速    m) C(分速    m)
  (2)BとCは何分ごとに出会いますか。(    分)
(大阪桐蔭中 2008年 ユニーク入試)
<問題1の考え方と答え>
旅人算の問題のパターンに、池や遊歩道のような「周」を回るものと、ある区間を往復する…という2つがあります。入試には頻繁(ひんぱん)に出題されています。
この機会にぜひマスターしてくださいね。

(1)の考え方と答え
この問題は周を回る問題です。
図はそのまま円形でかいてもいいですが、進む道のりを一直線に表すと考えやすくなります。
速さの問題では、図をかくことが問題を解くうえでとても重要ですよ。
こんなふうにかいてみます。

図

どうでしょう? 全くの基本形になりましたよね? あとは簡単(かんたん)です。

Bは4000mの道のりを、A(分速250m)に40分で追いつきます。
2人は同じ向きに走っているので、2人の速さの差は、

4000 ÷ 40 = 100

Bの速さは、Aの速さより分速100m速いから、

250 + 100 = 350  → Bは分速350m

また、Bの速さを分速□mとして、次のような式を立ててもいいですよ。



4000 ÷ 40 = □ − 250

□ = 350

次に、CとAは4000mの道のりを、10分で出会います。
2人は逆向きに走っているから、2人の速さの差の和は、

4000 ÷ 10 = 400

つまり、Cの速さは、

400 − 250 = 150  → Cは分速150m

また、Cの速さを分速□mとして式を立てるなら、次のようになります。



4000 ÷ 10 = 250 + □

□ = 150

(答え) B 分速350m、C 分速150m
<(2)の考え方と答え>
4000mの道のりを、Bは分速350m、Cは分速150mで逆向きに走るので、
4000mを分速(350 + 150)mで進んだときの時間を求めると、


(答え) 8分

問題2
A駅、B駅間を往復している大型バスとマイクロバスがあります。A駅からは大型バスが、B駅からはマイクロバスが7時に同時に出発しました。出発して17分後に、A駅から17km離(はな)れた地点でこの2台は初めてすれちがいました。また、2度目にすれちがったのはA駅から8.5km離れた地点でした。

  (1)2度目にすれちがったのは何時何分ですか。
  (2)A駅、B駅間は何kmありますか。
  (3)マイクロバスの速さは時速何kmですか。
(芝浦工業大学柏中 2008年 小問一部略)
<問題2の考え方と答え>
さて今度は、ある区間を往復するパターンですよ。
このパターンは、図のかき方を覚えたら、あんがい簡単(かんたん)に解けちゃいますよ。
初めての人は何度も自分でかいてみてくださいね。
<(1)の考え方と答え>
2度目にすれちがうところまで図にしてみましょう。こうなります。

図





そうですね。大型バスとマイクロバスの「速さの和」のまま進むのですから、
道のりが2倍になれば、かかる時間も2倍で、

17 × 2 = 34(分) かかります。

7時に出発してから2度目にすれちがうまでの時間は、

17 + 34 = 51(分) です。

(答え) 7時51分
<(2)の考え方と答え>
大型バスは、17kmを17分で進んだので、速さは?



2度目にすれちがうまでに51分進みました。このときの道のりは?



図

あと8.5kmたせば、A駅、B駅間の道のりの2倍になりますよね。だからA駅、B駅間は?

(51 + 8.5)÷ 2 = 29.75(km)

(答え) 29.75km
<(3)の考え方と答え>
もう一度、2台が2度目にすれちがうところまでの図を見てみましょう。

図

上の図の、青線の部分の道のりは?

29.75 + 8.5 = 38.25(km) ですね。

2度目にすれちがうまでに51分かかったので、


(答え) 時速45km

プロフィール



大人気メールマガジン「コロンブス的・超発想で中学受験を成功させる方法」の発行人で、中学受験カウンセラー。メルマガは殿堂入りを果たす。理科・替え歌暗記法のCD『愛のメモリーTM』も作成。

子育て・教育Q&A