顔を真っ赤にしてせき込むことがたびたびあります。ぜんそくや気管支炎の可能性があるのではと心配です。

せきが3ヵ月も続く場合、小児科では百日咳（ひゃくにちぜき）やマイコプラズマ肺炎（あるいはクラミジア肺炎）などを疑います。まれに気道異物のこともあります。

ご相談のお子さんは、3ヵ月の間に風邪を引いたり治ったりということですから、少し違うようですね。それにこれらの病気は検査をすれば診断することが可能です。

ぜんそくは気道が狭くなってゼイゼイ・ヒューヒューという音がする病気ですが、コンコンというせきが出る場合もあります。多くの患者さんは、風邪を引いたときにぜんそくの症状が出現したり悪化したりします。また日中よりも夜の方が症状がひどくなることが多いのも特徴です。

子どもの気管支炎のほとんどは急性疾患ですので3ヵ月も続くことはまれです。ただ、ぜんそくのことをあえてぜんそく性気管支炎という診断名をつける医師もいます（親に心配をかけないようにという配慮だと思います）。

実際、2歳未満のぜんそくは正確に診断することが難しいので、受診した医師によっては気管支炎と言われることがあるかもしれません。
小児の場合、ぜんそくは男の子に多いということ、夜間にせきが出るということ、3ヵ月以上続いていることなどを考えると、ぜんそくまたはせきぜんそく（ぜんそくの前段階で半分ほどはぜんそくに移行するとも言われています）の可能性はあるかと思います。
もしそうであれば、適切な治療によって症状をコントロールすること(せきをなくして夜間の睡眠障害をなくすこと）は可能です。
一度小児アレルギーの専門医を受診してご相談されてはいかがでしょうか。