両親と兄がアレルギー体質です。6ヵ月の娘も早くから花粉の暴露を受けると花粉症になりやすいのですか？

小さいころに花粉の暴露を受けると花粉症になりやすいかどうかは、一概には言えませんが、現在の多くの日本人が暮らしている環境で子育てをした場合、7割以上のお子さんがアレルギー体質になります。

アレルギー体質の人の全てが花粉症になるわけではありませんが、花粉の暴露を受けた場合アレルギー体質ではない方よりも発症する可能性は高いと言えます。
特にご家族の中に花粉症の方がいらっしゃる場合は、より発症の確率は高くなります。また、花粉の暴露を受けると湿疹（特にアトピー性皮膚炎）も悪化することが多いので注意が必要です。

現実には外出を避けることは困難ですし、外出だけ制限しても花粉症などのアレルギー疾患を完全に予防することはできませんが、花粉の暴露をできる限り減らすような工夫はされたほうがよろしいかと思います。