飲み物や食べ物を自分の手で食べられません。催促されてもあげないで、自分で食べるまで気長に見守るべきでしょうか？

生後5ヵ月ごろになると手にしたものを何でも口に運ぶようになり、6〜7ヵ月ごろは盛んに口に入れ、なめて探索するようになります。
手に食べ物を持たせると口に入れるようになるのはこのころです。

8〜9ヵ月ごろには見るものさわるものすべてに興味を向けるようになり、食事もおもちゃがわりのようにぐちゃぐちゃにして遊ぶようになります。離乳食の時期にスプーンをおうちのかたの手から取って自分で持ちたがることがあったかと思います。
ついついまわりを汚されるのがいやで食べさせてしまっていたことはないでしょうか？

自分で持ちたいという意欲が出てくる時期には自分で食べさせる練習が必要です。
スプーンやフォークがうまく使えなくても、おなかがすくとどうにかして食べようとして手づかみで食べるようになります。最初から食べさせるのではなく自分から手を出すのを少し待ってあげましょう。

手づかみを一度もしないとのことですが、べたべたしたり、手に何かがつくのをいやがるなど、手の触覚過敏がありますか？
手の過敏さがなければ持ちやすいサイズの小さいおにぎりやサンドイッチを用意して手づかみの練習から始めてください。ぐちゃぐちゃに散らかすことがあるかもしれませんが食べさせてもらうという習慣を改めるためにも叱らずに見守ってあげましょう。

またお子さんだけ先に食事をさせるのではなく、大人と一緒の食卓で食事をする経験をさせることも大切です。大人が食事をしているところを見て、まねをすることで食べ方も学んでいきます。