離乳食で卵黄から全卵にすすめたところ、湿疹ができました。

皮膚の症状は30分ほどで消えたとのことですので、厳密にはじんましん（じんましん）のような急性病変だと思われます。
このお子さんの場合、全卵を食べて3時間以内に症状が出現したのであれば、卵白のアレルギーの可能性があり、食べてから症状が出るまでの時間が短いほど（空腹のときは15分以内が多い）可能性が高くなります。

しかし、口のまわりと目の下にだけ皮膚症状が出現したとのことですので、食べ物による接触性皮膚炎（食べ物が皮膚についたことによる肌荒れ）の可能性もあります。

確定診断の方法は、空腹時に全卵をもう一度食べさせて、症状が出るかどうかを確かめることですが、ご自身で判断することは絶対になさらないでください。
まず、小児科を受診し血液検査や皮膚テストなどで卵黄や卵白に対するIgE抗体がないかどうかのチェックをしてもらうとよいでしょう。
その結果によって、しばらく卵を控えたり、少量の加熱した卵から再開するなど、卵を食べることによる症状の有無を確認しながらすすめていくことになるでしょう。いずれにしてもアレルギーの有無に関しては医師の診断が必要です。