インフルエンザにかかった場合、母乳をあげ続けても問題ないのでしょうか。

お母さんと赤ちゃんとのふれあいは濃厚ですので、インフルエンザの症状が出る前の潜伏期間に、赤ちゃんにも感染してしまっている可能性が高いと思われます。赤ちゃんの近くでせきをしたり、ウイルスが手についた状態で赤ちゃんをさわったりして感染することが多く、母乳からの感染は少ないとされています。
したがって、母乳を中止することの意味はあまりなく、基本的には中止する必要はありません。

しかし、お母さんがインフルエンザによる高熱で体力的にも消耗しているときの授乳は大変だと思いますので、そのときの様子を見ながら、無理のない範囲で、と考えるのがよいと思われます。

ご家族でインフルエンザのワクチンを受けて、手洗い、うがいを励行して風邪の予防に努めてください。

最近、インフルエンザの治療に特効薬としてよく用いられている薬があります。母乳への移行は少ないとされていますが、新しい薬のため、母乳から赤ちゃんにどのように影響するかの安全性は確認されていません。
現在のところ服用してもよいとする意見と、薬の量を減らすか服用日数を少なくするなどの工夫をすべきといった意見があります。
なお、母乳をあげている間のお母さんへのインフルエンザワクチンの接種は、赤ちゃんへの影響はありません。