一日中眠たそうにしています。起きているときはほとんど抱っこをせがんできます。

夜の睡眠はとれているようですね。11ヵ月で既に走ることができるようですので、運動発達はかなりよさそうです。眠りながら走ることはしないので、眠そうに見えますが、実際は起きているようですね。眠そうにしているとはいっても横になっている状態になるのではなく、起きていても何となく活力がないという状態なのでしょうか？

いくつかの点を確かめておきたいと思います。
食欲はいかがですか？
体重の増加はどうですか？
人見知りをしたり、話しかけや呼びかけに反応はよいですか？
音や音楽に反応しますか？
おもちゃでよく遊びますか？
テレビやビデオを見たときに、声を出したり体を一緒に動かしたりする反応を見せますか？

これらを十分していれば特に心配はありませんが、もしこのようなことをしないで、周囲にも関心を示さないようだったりいつも眠そうにしているようであれば、発達に問題があるかもしれませんので、一度小児科に診せてください。

いずれにしても、夜は部屋を暗くして、十分睡眠をとるようにして、昼間は明るい所でしっかりと遊ばせて刺激を与えてください。この月齢で動きすぎるようなことがあっても、昼間眠そうにしてばかりいるということはありません。