ここ1ヵ月病気が続き、薬をずっと飲んでいるので、薬の体への影響が心配です。

赤ちゃんは体の機能が十分発達していませんので、ちょっとした病気でいろいろな症状を出してしまったり、症状を変えて長引いたりすることがあります。

例えば風邪だと思っていても、せきをしたり、鼻水だけでなく、吐いたり、下痢をしたり、耳が痛いと言ったり、機嫌が悪くなったりとさまざまです。それも時期を変えて症状が現れてくることもあります。
例えば、気管支炎でせきをしょっちゅうしていると、中耳炎になり、抗生物質を飲んでいるうちに下痢を起こし、下痢が治ったと思ったら便秘になるといった症状が連鎖することもあります。
ときには初めの病気が治りかけたときに別の病気になってしまうこともあります。麻疹（ましん）が終わったあとにすぐ水ぼうそうになったということはよく聞く話です。
病気になると体力や免疫力も低下しますから、さらに病気にかかってしまう可能性がありますので注意が必要です。

薬は必要があれば飲まなければなりませんが、できるだけ少なくすることも必要なことです。
そのためにも、症状が変わる度に医者を変えるのはよい方法ではありません。どんどん薬が増えていく可能性があります。
初めから診てもらっているかかりつけの小児科医は全体の状態を見ながら薬を出していきますので、お任せしてよいと思いますが、薬のことがご心配ならばかかりつけの医師によく相談することです。

いずれにしてもだらだらと風邪薬を飲み続けることは賛成できません。特に抗ヒスタミン剤が入った風邪薬は控えたほうがよいでしょう。