市販の風邪薬を服用して授乳しても大丈夫でしょうか。

1歳を過ぎていますので、離乳食も始まっており、母乳もそれほどたくさんは授乳していないと思われます。

確かに、お母さんが飲まれた風邪薬は母乳中にもその成分が含まれますが、市販のものは量がそれほど多くはありませんので、大量に飲んだり、長期に飲むのでなければ子どもに影響するほどではないと考えられます。
しかし、薬によっては少量でも影響することがあります（例えば抗ヒスタミン薬、解熱剤など）ので、購入する前に薬局で確かめてください。最近は薬局でもいろいろ服薬の指導をされるところがあります。

いずれにしても風邪の薬は、風邪に対する根本的な治療ではなく対症療法的（せきや鼻水を抑える）なものですので、ひどい症状でなければ薬を飲まないで様子を見ることも考えてもよいでしょう。母乳を与えている間は面倒でもかかりつけの医師からもらうようにするのが一番心配ないと思います。

お母さんが38度の熱で風邪症状がありますので、赤ちゃんにもうつっている可能性がありますね。赤ちゃんの熱を測りながら赤ちゃんの様子も見てください。