猫に腕をかまれましたが、少し赤いくらいなのでほうっておいたら、日に日にひどくなって、かぶれたようにただれてきています。子どもは治りが遅いのでしょうか、それとも猫には危険なばい菌があるのでしょうか。

猫にかまれたり、ひっかかれたりしたあとに1〜2週して、その部分が赤くはれたり、熱をもったり、かまれた部分に近いところのリンパ腺（せん）、腕の場合はわきの下のリンパ腺、足の場合はまたのところのリンパ腺がはれてくることがあります。
また、体温を測ると微熱があったり、体がだるいといった症状があることもあります。

これは「猫ひっかき病」と言われる病気で、猫がバルトネラ・ヘンセレという細菌に感染している場合に、かまれた箇所やひっかかれた箇所から人に感染するものです。
日本では報告により違いはありますが、10〜20％の猫が感染していると言われています。野良猫の方が多いですが飼っている猫でも感染していることが多いと認識していてください。

日本では年間2万人くらいが感染していると言われていますが、あまり知られていないこともありますので実際はもっと多いと考えられます。特別の治療法はありませんが、自然に治ることが多いです。
また、猫だけではなくそのほかのペットも感染しており、ペットを通じて感染することもありますので注意が必要です。

ご相談の場合が猫ひっかき病か、単なるばい菌による感染なのかどうかはわかりませんが、一度医療機関を受診してみてください。