1ヵ月くらいたちますが、鼻水をすすってのどにたまってたんになり、それが原因でせきがひどくなり、嘔吐（おうと）することもあります。大きな総合病院に行った方がいいのでしょうか。

子どもは、強いせきと一緒に吐いてしまうことがよくあります。
これはせきをするための脳の中枢と嘔吐の中枢が近いところにあるので、せきをするところが刺激されると嘔吐の中枢も一緒に刺激されて吐いてしまうのではないかと考えられています。
また、せきのときに腹圧が強くかかりますのでそのために腹部が圧迫されて吐くということもあります。
さらに、食道と胃がつながっているところ（噴門）のしまりが未発達で胃の中のものが逆流しやすいという特徴もあります。
いずれにしても子どもは、せきと一緒に吐きやすいのです。

ご相談のお子さんは1ヵ月以上、強いせきが続いているようで、おまけに鼻水も出ているようですので、花粉症のようなアレルギー性の鼻炎や気管支炎などの可能性もあります。
昔は百日咳（ひゃくにちぜき）といって、2〜3ヵ月も強いせき（特に夜間に犬の遠吠えの様なせき）が続く病気がありましたが、最近、また増えてきていることですので注意が必要です。百日咳ではなく風邪のウイルスでも同じような症状を示すこともあります。

いずれにしても、長く続くようであれば、小児科専門医のいる病院を受診されて原因を調べてみてください。