10ヵ月健診で発達が全体的に遅いと言われましたが、小児神経科に診察してもらった方がいいでしょうか。

ご相談のお子さんは、3ヵ月半で首がすわり、7ヵ月でお座りができたようですので、寝返りもしていると思われ、運動面では基本的には大きな遅れはないと思います。
10ヵ月でつかまり立ちをしないのも通常のことですので、運動面では特に遅れがあるようには見えません。はいはいをしないようですが、はいはいをあまりしないで立つお子さんもよく見られます。完全なはいはいでなくても、ずりばいをしていることもあります。

「パラシュート反射」は両方のわきの下で子どもを抱えて、突然前の方に空中で倒すようにすると、赤ちゃんが両手を広げて防御をするような動作を反射的にすることです。生後7〜8ヵ月になると陽性になってきます。
しかし、この反応は衣服を着ていたり、倒し方がゆっくりだったりするとうまく出ないことがあります。ほかにも似た反射があり、これらの反射と合わせて診てもらうのがよいでしょう。

ご相談の内容では、目線を合わせない、人見知りをしない、あまりおもちゃに興味をもたない、おもちゃを両手で持たないなど、まわりのお子さんと違うようだと心配されていますが、むしろ今後の精神面の発達についての経過を見たいと思います。
健診のときに言われたように、1ヵ月半か2ヵ月くらいして再度発達を見て、遅れがあるようならば小児神経の専門医を受診した方がよいでしょう。