実家の部屋に入るなり、口のまわり、おでこ、目の周りにじんましんが出、鼻水、せきも出るようになりました。どんな対処をしたらいいでしょうか。

お子さんがご両親の実家を訪れたときに、じんましんやぜんそく症状などのアレルギー反応を起こすという場合、最も多いのは犬や猫などのペットの抗原が原因となっているケースです。
もちろんダニやハウスダストでも起こりますが、異常に高い濃度にさらされなければそこまでの症状は出ません。
犬の抗原に対する特異的IgE抗体をもっているかどうかは血液検査や皮膚検査で調べることができますので一度小児科でご相談されるとよいでしょう。
たとえ犬の特異的IgE抗体が陽性でも、アレルゲン（原因抗原）がなければアレルギー反応は起こりませんから、最もよいのは実家で犬を飼うのをやめて家中の掃除をしっかり行っていただくことです。

ただ、簡単に手放すことは難しいと思いますので、次の対策としては、犬を週2回程度洗い（洗ったあと軟膏（なんこう）を塗らないと皮膚炎を起こす犬もあります）、床や壁のふき掃除を徹底していただくこと、そのうえで、実家を訪問する前にお子さんに抗アレルギー剤と気管支拡張剤を貼付（ちょうふ）もしくは内服させておくことです。
犬の抗原除去をまったくやらずに薬だけでアレルギー症状を抑えることはかなり困難です。
ステロイドを飲ませていけば症状はもっと出にくくなりますが、ステロイドの内服薬には成長抑制などの副作用がありますので、緊急時など特別なとき以外はおすすめできません。

ちなみに犬や猫のアレルギーに対して、空気清浄機は効果はほとんど期待できないと思われます。