扇風機を1時間顔に当ててしまい、声がれとせきが発症してしまいました。

6ヵ月のお子さんに1時間近くも扇風機を当てっ放しにすれば、機嫌も悪くなり、のどが乾燥し声がしわがれても無理のないことです。
赤ちゃんは自分で顔をそむけたり、体を動かして風をよけることができませんので、風が当たりっ放しになります。
皮膚から汗がどんどん蒸発して体温が下がることになりますし、のども乾燥して、せきが出たり、声がかれたり、おまけに目も乾燥してしまいます。

扇風機を使うときは、弱風で、首振りにして、顔に直接風が当たらないように、赤ちゃんから離して使うようにしましょう。むしろ赤ちゃんには扇風機でなく、自然の風やうちわの風が適しているようです。

首や関節の内側や体の発疹（ほっしん）は、あせもと思われます。
実際に見なければわかりませんが、じんましんの場合は首や関節の内側に出るのではなく、顔や腕、大腿（だいたい）、体に出ることが多く、あせものように細かい発疹ではなく、表面が盛り上がって赤くなった部分がくっついたような不規則なかたちをしています。かゆみが強いのが特徴です。
もちろん、扇風機による風のあたりとは関係ないものと思われます。
汗をよく洗い流して清潔にし、涼しい環境においてあせもの処置をしてください。