赤ちゃんの下痢は治りにくいと聞きましたが、どのくらい続くものなのでしょうか。ミルクや離乳食で何か注意することはありますか？

水のような下痢（水様性の下痢）でなく、黄色い色をした柔らかい便であれば、授乳は問題ないでしょう。離乳食は下痢の前に食べていた離乳食より１段まえのレベルにして、下痢の様子をみて、特に強くなるようなことがなければ次第にレベルを上げてください。

体重が順調に増えている場合は栄養は吸収されていますので特に心配はなさそうです。

一週間前から下痢ということですが、その前に風邪のような症状があり、胃腸炎などを起こしていると、ミルクや牛乳に含まれる乳糖という糖を分解する能力が悪くなり、下痢が続くことがあります（二次性乳糖不耐症）。
この場合、ミルクを飲むのをやめたり、ミルクを分解するおなかの薬を飲むこともあります。主治医と相談して下さい。
何か同じものを食べると下痢がひどくなるようであれば、アレルギーの可能性もありますので小児科を受診してください。