定期テスト対策 高校数学

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数学Ⅱ 定期テスト対策【微分法】極大,極小を与えられたときの条件

【微分法】極大,極小を与えられたときの条件

x=3で極小値をとるから,f′(3)=0 」と書かれていますが,このf′(3)=0は傾きが0だということを表しているのでしょうか。あまりイメージができません。回答よろしくお願いします。

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】関数f(<i>x</i>)=x^3+ax^2+bx+2は,x=3で極小値2をとる。このとき,a,bの値を求め,極大値を求めよ。

の解答で,
x=3で極小値をとるから,f′(3)=0」と書かれていますが,このf′(3)=0は傾きが0ということを表しているのでしょうか? イメージができません。
というご質問ですね。

【解説】

≪ 極大・極小について ≫
一般に,f(x)の増加と減少が変わるところで,f(x)は「極大・極小」になるといい,関数f(x)の増減は微分係数f′(x)の符号で判断することができます。

グラフが単調に増加(接線の傾きが正)する区間の微分係数・・・ f′(x)>0
グラフが単調に減少(接線の傾きが負)する区間の微分係数・・・ f′(x)<0
グラフがx軸に平行(接線の傾きが0)である区間の微分係数・・・ f′(x)=0

つまり,極値となるのはf′(x)の符号が変化する境界であり,このとき,「f′(x)=0」であることが前提です。


グラフ:極大値と極小値

つまり,
f′(3)=0
という式が成り立たなくてはならないのです。
また,
f′(3)=0」 は,yf(x)のグラフで,x=3における接線の傾きが0である
ことを意味します。

そして,上の図のように,接線の傾きの変化に着目すると,
極値に近づくにつれて,傾きの絶対値は小さくなっていき,
極値では接線はx軸に平行,すなわち傾きは0になる
ことがわかります。
これで極値と接線の関係はイメージできましたか?

【アドバイス】

f′(x)<0 → f′(x)=0 → f′(x)>0 」 あるいは 「 f′(x)>0 → f′(x)=0 → f′(x)<0」 のようにf′(x)の符号の変化とf(x)の増加,減少の様子を結びつけてイメージできるようにしておきましょう。
増減表を作成してグラフをかく手順もしっかりマスターすることが大切です。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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