定期テスト対策 高校数学

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数学Ⅰ 定期テスト対策【数と式】対称式はどんなとき使うんですか?

【数と式】対称式はどんなとき使うんですか?

(2)で(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 の1行目の式変形をしているのはどうしてですか?
対称式の説明も読んだのですが、よくわかりません。

進研ゼミからの回答

こんにちは。がんばって勉強に取り組んでいますね。
いただいた質問について、さっそく回答させていただきます。

【質問の確認】

【問題】
x=√5+√3,y=√5-√3のとき、次の式の値を求めよ。(1)x+y,xy(2)x^2+y^2(3)x^3y+xy^3
について、

【解答解説】から抜粋部分
(2)(x+y)^2=x^2+2xy+y^2より
上記のように、1行目の式変形をしているのはどうしてなのか、
対称式の説明を読んでも、よくわからなかった、とのご質問ですね。
さっそく確認していきましょう。

【解説】

「1行目の式変形をしているのはどうしてなのか」ということですが「その方が簡単に計算ができるから」です。
値を求める問題では、計算に手をつける前に、まず「式の特徴」をつかみましょう。
それによって、効率のよい方針が見つかることがあります。
この問題で値を求めたい式は、対称式と呼ばれる特徴のある式なのです。

xy を入れ換えても、もとの式と同じになる式」をxy についての対称式という。
(2)のx^2+y^2という式は,x,yを入れ替えてもy^2+x^2=x^2+y^2となり、同じ式になります。
つまり対称式といえますね。
対称式には次のような性質があります。

xy についての対称式は基本対称式 x+yxy で表すことができる。

そこでxy についての対称式の値を求めるような問題では、次の手順が定石となります。

(ⅰ)まず、基本対称式 x+yxy の値を計算する。

(ⅱ)与えられた対称式を基本対称式で表す。

(ⅲ)(ⅱ)の式に(ⅰ)の結果を代入する。

では、(2)を上の定石にあてはめてやってみましょう。
(2)を上の定石にあてはめた解答
⇒(1)でx+yxy の値を求めるようになっていたのも、あとの問題を計算するための誘導だったわけです。

このあたりも実は方針立てのヒントになっているので、問題を解くときは、問題文自体にもアンテナを張っておくといいですよ。

同様に(3)の問題にも挑戦してみましょう。
xyに直接値を代入するより、はるかに楽に計算できますよ。
xyが複雑な値であるほど、計算する式が複雑であるほど、この方針での計算が有効になります。
ぜひこの機会に対称式の性質をマスターしておきましょう。

【アドバイス】

計算問題において、問題を解く方針を立てるとき、まず「式の特徴」をつかむことは、
効率よく解くためにとても有効です。式の特徴にあったワザを身につけておくと
これから色々なシーンできっと役に立つので、1つひとつマスターしていきましょう。
効率のよい解法は、時間の短縮だけでなく、計算ミスの防止にもつながりますよ。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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