定期テスト対策 高校数学

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数学Ⅱ 定期テスト対策【式と証明】相加平均と相乗平均の等号成立条件

【式と証明】相加平均と相乗平均の等号成立条件

どうして等号成立条件がa-b=0なんでしょうか?
問題ではa+bしか出てこないですよね?

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答します。

【質問の確認】

【問題】
a+b≧2√ab(a>0、b>0)を証明してみよう。
で 問題ではa+b しか出てこないのに、

【解答解説】の証明
等号が成り立つのは、a-b=0、すなわちa=bのとき。・・・(*)
の(*)で等号成立条件が「a-b=0」となることについてですね。

【解説】

相加平均・相乗平均の大小関係を証明するところでの、等号成立条件について・・・
どうして、a-b=0なのか?という質問ですね。

不等式の証明の基本は、「差をとって、符号を調べる」

ことは、よく理解できていますね。
これを踏まえて、相加平均・相乗平均の大小関係を証明するとき、根号を含むことから、2乗して差をとり、(左辺)-(右辺)≧0を導いたときの式が、ポイントです。この式で等号成立条件を考えます。等号が成り立つのは、()の中身が0のとき。つまり、a-b=0のときとなります。
不等式を証明する時には、等号がつくのか、つかないのか、意識することは大切です。
この点に注意しているのが良いですね。

【アドバイス】

今後不等式を証明する時に、『相加平均・相乗平均の大小関係』を用いると、楽に証明できる場合が出てくるでしょう。そのときにも、「等号が成立する時があるのか、ないのか」常に意識して、利用していきましょう。

今後も、分からないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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