【図形の性質】回転体で「内部が通過する部分」と「側面が通過する部分」の意味
「内部が通過する部分」と「側面が通過する部分」の意味がわからない。
進研ゼミからの回答
こんにちは。
では質問にお答えします。
【質問の確認】
【問題】
1辺の長さが６である正四面体ABCDにおいて，三角形BCDの重心をGとする。この正四面体を直線AGを軸にして１回転させる。ただし，線分AGは底面BCDに垂直であることを用いてよい。
（１）AGの長さを求めよ。
（２）この正四面体の内部が通過する部分の体積を求めよ。
（３）この正四面体の側面が通過する部分の体積を求めよ。
について，
（２）の「内部が通過する部分」と（３）の「側面が通過する部分」の意味がわからない。
というご質問ですね。
【解説】
≪回転軸に垂直な平面で考える≫
まずはわかりやすいように平面で説明します。底面の△ＢＣＤを重心Ｇ を中心に回転させたとき， （ⅰ）△ＢＣＤの内部も含む全体が通過する領域，（ⅱ）△ＢＣＤの３辺（内部は含まない）が通過する領域をそれぞれ考えてみましょう。
（ⅰ）△ＢＣＤの内部も含めた「全体」が通過する領域は重心Ｇを中心とする半径ＧＢの円です！
（ⅱ）△ＢＣＤの「辺ＢＣ，辺ＣＤ，辺ＢＤ」が通過する部分は，重心Ｇを中心とする半径ＧＢの円と重心Gを中心とする半径ＧＤ’（＝ＧＥ＝ＧＦ）の円で囲まれたドーナツ型になります！
≪正四面体を回転させる場合≫
では本題に入ります。正四面体ＡＢＣＤを直線ＡＧを軸として回転させる場合を考えましょう。
（２）の「内部が通過する部分」というのは，立体の内部も含む全体の通過領域をさし，（３）の「側面が通過する部分」というのは，３つの側面△ＡＢＣ，△ＡＣＤ，△ＡＤＢの通過領域を示しており，この場合，正四面体の内部は含みません。平面での説明に対応させると，（2）は（ⅰ），（3）は（ⅱ）に対応しています。
正四面体ＡＢＣＤを直線ＡＧに垂直に切った断面図は，どこで切っても正三角形で，それを回転させたとき正三角形の「辺」の通過領域はドーナツ型ですね。だから，正四面体ＡＢＣＤを直線ＡＧを中心に回転させると，四面体の「側面」の通過領域は，だんだん小さくなるドーナツ型が積み重なった，「大きな円錐－小さな円錐」になる訳です。
【アドバイス】
まずは底面だけを回転させて平面で考えてみると，「内部の通過領域」，「辺（側面）の通過領域」の違いが明確になるでしょう。
またわからないことがあったら質問を送ってくださいね。
