定期テスト対策 高校数学

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数学Ⅰ 定期テスト対策【2次関数】文字定数の場合分けでの,<と≦の使い分け

【2次関数】文字定数の場合分けでの,<と≦の使い分け

文字を含む2次関数の最大値や最小値を求める問題で,場合分けの仕方を決めるとき,1≦a≦3,3<aとしたらよいか,1≦a<3,3≦a としたらいいのか,わかりません。どんな基準で場合分けをしたらいいですか。

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】
問題
上の問題で,場合分けの仕方を決めるとき,1≦a≦3,3<aとしたらいいか,1≦a<3,3≦a としたらいいのか,わかりません。どんな基準で場合分けをしたらいいですか。
というご質問ですね。

【解説】

2次関数の最大値・最小値を求める問題では,「グラフ」と「定義域」の位置関係を調べることが定石です。
しかし,「グラフ」と「定義域」のどちらかに文字が入ったとき,最大値・最小値が1つの式では表せないことがあります。
そのようなときに,次の問題のように,場合分けをしますが,範囲に「ヌケモレ」がなければ,模範解答と≦,<が違っていても,正解と考えてOKです。

【問題】
問題
まず,この問題の解答を確認しましょう。

【解答】
解答の式
したがって,このグラフは,下に凸の放物線で,軸の方程式はxaである。

(ⅰ) 1≦a<3のとき
グラフは図のようになるので,xaのとき,最小となる。

解答のグラフ
≪場合分けのポイント≫
気をつけるポイントは,
範囲に「ヌケモレ」がないか
の1点です。これらをクリアできるように,<と≦を使い分けて場合分けの範囲を決めればよいのです。
基本的には,この条件を満たしていれば,<と≦は,自分の都合のいいように決めることができます。
上の解答の場合分けを見ると,1≦a<3,3≦aとなり,ヌケモレはありませんね。

では,この場合分けのa<3,3≦a の部分を,a≦3,3<a としてもよいかどうか,見ていきましょう。
まず,(ⅰ) と (ⅱ) の境目であるa=3に注目してみましょう。
(ⅰ),(ⅱ) の最小値に,a=3を代入してみると,

(ⅰ) と (ⅱ) の式
となり,どちらも同じ値になります。つまり,a=3は (ⅰ),(ⅱ) のどちらの場合分けの範囲に入れてもよいので,

(ⅰ) 1≦a≦3 のとき

(ⅱ) 3<aのとき 

と場合分けしてもよいことがわかります。すなわち,

解説の式
としても正解,と言えるのです。

【アドバイス】

場合分けは,「ヌケモレ」がなければ,模範解答と≦,<が違っていても,正解と考えて大丈夫です。
問題を解いたあと,きちんと範囲にヌケモレがないか,見直しをするようにしましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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