【場合の数と確率】倍数の個数の求め方
どうやったら1から100までの整数のうち，
3の倍数や5の倍数でないのかを導きだせるのかよくわからないです。
進研ゼミからの回答
こんにちは。
いただいた質問について、早速 回答させていただきます。
【質問の確認】
【問題】
1から100までの整数のうち、次のような整数は何個あるか。
(1) 3の倍数である整数
(2) 5の倍数でない整数
(3) 3の倍数かつ5の倍数である整数
(4) 3の倍数または5の倍数である整数
について、どうやって1～100までの整数のうち3の倍数や5の倍数でない整数の個数を導き出すかについてですね。
【解説】
集合の要素の個数を考える問題で、3の倍数や、5の倍数でないものを、どのように導きだすのかよく分からない・・・ということですね。
まず（１）について、
ひとつ、具体例で、考えてみましょう。
≪（例） 1から10までの自然数において、3の倍数は？・・・≫
次の問題も、上の例と同じ考え方で、求めることが出来ます。
≪（１）「３の倍数である整数の個数」を求める問題≫
ここでは、「1から100までの整数」の中で、3の倍数の個数を考えるので、3×（整数）で表される、一番大きい（整数）を、求めてみましょう。
100÷3 を計算します。
100÷3= 33・・・1 (100 = 3×33+1)
商は、「33」となることから、 「33個」と分かります。
これを、集合の要素の形で表すと、解答解説のように
A={3･1, 3･2, 3･3,・・・, 3･33 }
と表せるわけです。
次に
≪（２）「５の倍数でない整数」を求める問題≫
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11,・・・・などと、５の倍数ではないものを、考えると数が多くて、数えるのも大変そうです。
そこで、『「５の倍数」の個数を調べて、１００から引く』のが簡単・・・と考えることが、ポイントです。
5の倍数は、（１）の３の倍数の個数を数えたのと、同じように考えてみましょう。
として、求めることができます。
次に
≪（３）「３の倍数かつ５の倍数である整数の個数」を求める問題≫
「３の倍数かつ５の倍数」ということは、15, 30, 45, 60 ・・・のような整数ですから、
と考えることが、ポイントです。 １５の倍数を（１）と同様に考えて求めてみましょう。
最後に
≪（４）「３の倍数または５の倍数」を求める問題≫
これは、具体的には、
より、①、②の数を数えて、「①＋②」 をすれば良いのですが、注意点がひとつ。 ○で囲んだ整数は、①にも②にも含まれるので、２回数えていることになります。
よって、
と計算することが、ポイントです。
【アドバイス】
今回の問題を通して、「３の倍数」の個数や、「かつ」・「または」を考えるときのポイントなどをおさえておきましょう。その上で、（２）のように「～でない」場合の数を数えるときには、「～～である」ものの数を数えて、全体から引く という考え方を、身につけておくと良いですね。
今後も、分からないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。
