【微分法(III)】置き換えによる微分
「 y＝（2x＋1）^3＋（2x＋1）を微分せよ。」という問題の解答を見ると，u ＝2x＋1 とおいているのですが，どうしてこのような解き方をするのですか？ このやり方がわかりません。教えてください。
進研ゼミからの回答
こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。
【質問の確認】
【問題】次の関数を微分せよ
上の問題の解答を見ると，u=2x+1とおいているのですが，どうしてこのような解き方をするのですか？
というご質問ですね。
【解説】
合成関数の導関数
微分可能な2つの関数y ＝ f(u)，u ＝ g(x) の合成関数y ＝ f(g(x)) について，
これを利用して解くと，次のようになります。
まず，
では，微分の仕方をまとめておきましょう。
≪合成関数の導関数の公式≫
合成関数は，(外側の関数を微分)×(中の小さい関数を微分)×(さらにその中の関数を微分)×……というように，外から内へドンドン微分して掛ける，と考えます。
①を例にとってみると，次のようなイメージです。
このように考えると，2x＋1をu とおいてステップを３回踏まなくても，一気に微分できてしまいます。
ポイントは，
・カタマリをつくり，外側の関数と中の小さな関数をとらえる
・外側から微分する
です。
【アドバイス】
次数が高い式など，y ＝ f(g(x)) の形をしているときは，「合成関数の導関数」の公式を確実に利用できるようにしておきましょう。まずは，u ＝ g(x) とおいて，3ステップで確実に解けるように練習しておきましょう。
慣れてくれば，
・カタマリをつくり，外側の関数と中の小さな関数をとらえる
・外側から微分する
というポイントを押さえ一気に微分してもよいでしょう。
それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。
