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数学Ⅲ【平面上の曲線】媒介変数表示について

【平面上の曲線】媒介変数表示について

座標平面上における直線や曲線は,xyの関係式で表すのに,「媒介変数表示」はxyのほかに,別の文字が入っていて,どう扱えばよいのかわかりません。

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

座標平面上における直線や曲線は,xyの関係式で表すのに,「媒介変数表示」ではxyのほかに,別の文字が入っていて,どう扱えばよいのかわかりません。
というご質問ですね。

【解説】

≪「媒介変数表示」の意味≫
「媒介変数表示」というと,なんだか難しそうな言葉ですが,「媒介」とは,双方の間に立ってとりもつことですから,要は xy は変数tを媒介にしてつながっている,ということです。


媒介変数tはxとyをつなぐ

例えば,時間とともに動く点P(xy) の座標が時刻 tによって,


数式
と表されているとします。このとき,時刻tの値が1つ決まれば,点Pの座標が1つ決まります。この t が媒介変数であり,xy は媒介変数表示されている,というわけです。

解説01

もちろん,この例のように時刻でなくても,2つの変数(xy)をとりもっていれば媒介変数ですから,媒介変数は t とは限らず,θu などいろいろな変数の場合があります。

≪媒介変数表示された関数の扱い方≫
具体例で説明しましょう。
普通,座標平面上における直線や曲線は,xy の関係式で表しましたね。そこで,xy の関係が知りたいならば,t には消えてもらえばよいのです。


【例1】

xytの式で表されています。つまり,xyの間をとりもつ媒介変数tを用いた表し方ということですね。
これがどのような図形を表すかを調べるためには,tを消去して,xyの関係式を求めればいいのです。

解説02
この式は,おなじみの2次関数の式ですね。
よって,この図形は点( 1,-2)を頂点とする放物線になることがわかります。


【例2】
よって,この図形は中心( 2,-1 ) ,半径1の円になることがわかります。

◎まとめ
媒介変数表示とは,直線や曲線の表し方の1つですから,xyの関係や,どのような図形かを調べるためには, 媒介変数を消去して,xyの関係式にすればよいのです。
ただし,もし媒介変数の値の範囲が限られている場合は,xyの値の範囲にも気をつけなければなりません。
例えば,【例1】で t≧0という条件があったなら,
tx-1≧0より,x≧1
となり,この図形は点( 1,-2 ) を頂点とする放物線のx≧1の部分ということになるわけです。

【アドバイス】

媒介変数表示で,xyの関係を求めたいときは,“媒介変数を消去する”ことを覚えておいてください。消去の仕方は【例1】のように簡単なものや【例2】のようにコツが必要なものなどいろいろなので,いろいろな問題を解いて,媒介変数を消去するコツも身につけておきましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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