貧血ぎみで薬を飲ませていましたが、薬以外で治す方法はないでしょうか？　鉄分のサプリメントを飲ませてもいいのでしょうか？

この年齢であればおそらく鉄が少ないための貧血で、程度も軽いものと思われます。
血液検査でヘモグロビンの値が低いのかもしれません。ヘモグロビンは鉄と結合してできますので、鉄が少ないとヘモグロビンの値も少なくなります。
したがって治療には鉄剤を飲むことになります。主治医は血液検査をしてこのヘモグロビンの値や赤血球の数などを参考にして鉄剤を服用するか様子を見るかを決めていきます。主治医の指示に従ってください。

世間ではサプリメントが大流行ですが、通常は大人向けのものです。
小さなお子さんにサプリメントを飲ませるのはあまり賛成できません。ふだんの食事の中に鉄分の多い食材を選んで与えるようにしてください。