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数学B【空間ベクトル】垂直であることの証明の仕方

【空間ベクトル】垂直であることの証明の仕方

「正四面体ABCDにおいて,△BCDの重心をGとすると,AG⊥BCである。このことを,ベクトルを用いて証明せよ。」という問題の考え方がわかりません。

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答いたします。

【質問内容】
【問題】
正四面体ABCDにおいて,△BCDの重心をGとすると,AG⊥BCである。このことを,ベクトルを用いて証明せよ。

という問題の証明の仕方がわかりません。
というご質問ですね。

【質問への回答】
まず、問題の整理をしてみましょう。
【ポイント1】問われていることに注目!
この問題で問われているのは、「ベクトルを用いて、垂直であることを示すこと」だから…
垂直を、(ベクトルの内積)=0ととらえる。
つまり、


ベクトルAGとBCが垂直であることを示したいのだから、内積が0となることを示せばいいですね。

【ポイント2】証明で用いる基本となる3つのベクトルを決める!
最も一般的な3つのベクトルは、

この3つのベクトルを用いるのは、表したいベクトルAGやBCを表しやすいこと。

また、この3つのベクトル同士の内積や大きさの関係が簡単にわかるからです。
つまり、

ポイント1のベクトルAFとBCをベクトルb,c,dで表した解答

【ポイント3】 問題文から、使える条件を考える!

ベクトルAGとBCが垂直である証明式

【学習アドバイス】
「垂直」ときたら、「(内積)=0」を思い浮かべることがポイントでした。
三角形の重心の表し方を確認し、「正四面体」という図形的な特徴にも注目して、基本となる3つのベクトル を設定して、内積を計算してみることから始めましょう。
示すべき式を頭に置いて、計算を進めてみるとよいですね。

今後も、わからないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。

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