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数学A【整数の性質】余りを用いた整数の分類について

【整数の性質】余りを用いた整数の分類について

n^2を4で割ったときの余りを考えるとき,なぜnを4で割ったときの余りで分類するのですか?

進研ゼミからの回答

こんにちは。
では, 早速, 質問にお答えしましょう。

【質問内容】
【問題】
nを整数とするとき, n の2乗を4で割ったときの余りは, 0または1であることを証明せよ。

【解答解説】から抜粋部分


【解答解説】から抜粋部分


n の2乗を4で割ったときの余りを考えるとき, なぜnを4で割ったときの余りで分類するのか, という質問ですね。

【質問への回答】
ここで説明したいことは, 「4で割った余り」に関することですね。
だから, 整数全体を4で割った余りで分類して考えるのです。

整数には, 次の基本的な性質があります。

整数全体は, 整数 p(p>0) で割ったときの余り, 0, 1, ……, p-1 によって p 通りに分類できる

つまり整数を4で割った余りは0か1か2か3なので, 整数nは必ずこれらの4通りのどれかになります。

それを表したのが, kを整数とした次の式です。
n=4k+0 ← 余りが0で, 4で割り切れる整数です。
n=4k+1 ← 4で割ると1余る整数です。
n=4k+2 ← 4で割ると2余る整数です。
n=4k+3 ← 4で割ると3余る整数です。


よって, 整数全体をこれら4つの各場合に分類し, これらをn^2について考察すれば, 
すべての整数について調べたことになります。つまり, それを「4×(整数)+R」の形に変形してRの部分に着目すればよいのです。

上記4通りにおいて, Rが1か0しかなければ, 題意が証明されたことになりますね。

以上のように, まずは, 「元になる数 n」を4で割った余りで分類し, 与えられた式「n の2乗」について考えて
いくのです。

【学習アドバイス】
このような問題が出たら, 迷うことなく整数全体を分類できるよう, 解法の流れをしっかり確認して
おきましょう。

では、これからも『進研ゼミ 高校講座』を大いに活用し, あなたの学習に役立ててくださいね!

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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