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数学A【場合の数と確率】倍数の個数の求め方

【場合の数と確率】倍数の個数の求め方

どうやったら1から100までの整数のうち,
3の倍数や5の倍数でないのかを導きだせるのかよくわからないです。

進研ゼミからの回答

 

こんにちは。
いただいた質問について、早速 回答させていただきます。

【質問の確認】

【問題】
1から100までの整数のうち、次のような整数は何個あるか。
(1) 3の倍数である整数
(2) 5の倍数でない整数
(3) 3の倍数かつ5の倍数である整数
(4) 3の倍数または5の倍数である整数

について、どうやって1~100までの整数のうち3の倍数や5の倍数でない整数の個数を導き出すかについてですね。

【解説】

集合の要素の個数を考える問題で、3の倍数や、5の倍数でないものを、どのように導きだすのかよく分からない・・・ということですね。

まず(1)について、
ひとつ、具体例で、考えてみましょう。

≪(例) 1から10までの自然数において、3の倍数は?・・・≫
具体例
次の問題も、上の例と同じ考え方で、求めることが出来ます。

≪(1)「3の倍数である整数の個数」を求める問題≫

ここでは、「1から100までの整数」の中で、3の倍数の個数を考えるので、3×(整数)で表される、一番大きい(整数)を、求めてみましょう。
矢印
100÷3 を計算します。

100÷3= 33・・・1 (100 = 3×33+1)

商は、「33」となることから、 「33個」と分かります。

これを、集合の要素の形で表すと、解答解説のように

A={3・1, 3・2, 3・3,・・・, 3・33 }

と表せるわけです。

次に

≪(2)「5の倍数でない整数」を求める問題≫

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11,・・・・などと、5の倍数ではないものを、考えると数が多くて、数えるのも大変そうです。
そこで、『「5の倍数」の個数を調べて、100から引く』のが簡単・・・と考えることが、ポイントです。
矢印
5の倍数は、(1)の3の倍数の個数を数えたのと、同じように考えてみましょう。
5の倍数でない整数の個数の求め方
として、求めることができます。

次に

≪(3)「3の倍数かつ5の倍数である整数の個数」を求める問題≫

「3の倍数かつ5の倍数」ということは、15, 30, 45, 60 ・・・のような整数ですから、
「3の倍数であり、また、5の倍数でもある」同値「3と5の最小公倍数である、15の倍数」
と考えることが、ポイントです。 15の倍数を(1)と同様に考えて求めてみましょう。
最後に
≪(4)「3の倍数または5の倍数」を求める問題≫
これは、具体的には、
具体例
より、①、②の数を数えて、「①+②」 をすれば良いのですが、注意点がひとつ。 ○で囲んだ整数は、①にも②にも含まれるので、2回数えていることになります。
よって、
「3の倍数または5の倍数」を求める式
と計算することが、ポイントです。

【アドバイス】

今回の問題を通して、「3の倍数」の個数や、「かつ」・「または」を考えるときのポイントなどをおさえておきましょう。その上で、(2)のように「~でない」場合の数を数えるときには、「~~である」ものの数を数えて、全体から引く という考え方を、身につけておくと良いですね。
今後も、分からないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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