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数学Ⅲ【微分法(III)】置き換えによる微分

【微分法(III)】置き換えによる微分

y=(2x+1)^3+(2x+1)を微分せよ。」という問題の解答を見ると,u =2x+1 とおいているのですが,どうしてこのような解き方をするのですか? このやり方がわかりません。教えてください。

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】次の関数を微分せよ

【問題】次の関数を微分せよ

上の問題の解答を見ると,u=2x+1とおいているのですが,どうしてこのような解き方をするのですか?
というご質問ですね。

【解説】

【解説】

合成関数の導関数
微分可能な2つの関数yf(u),ug(x) の合成関数yf(g(x)) について,

合成関数の導関数01

これを利用して解くと,次のようになります。
まず,


合成関数の導関数02

では,微分の仕方をまとめておきましょう。


合成関数の導関数03

≪合成関数の導関数の公式≫
合成関数は,(外側の関数を微分)×(中の小さい関数を微分)×(さらにその中の関数を微分)×……というように,外から内へドンドン微分して掛ける,と考えます。
①を例にとってみると,次のようなイメージです。


≪合成関数の導関数の公式≫

このように考えると,2x+1をu とおいてステップを3回踏まなくても,一気に微分できてしまいます。
ポイントは,
・カタマリをつくり,外側の関数と中の小さな関数をとらえる
・外側から微分する
です。

【アドバイス】

次数が高い式など,yf(g(x)) の形をしているときは,「合成関数の導関数」の公式を確実に利用できるようにしておきましょう。まずは,ug(x) とおいて,3ステップで確実に解けるように練習しておきましょう。
慣れてくれば,
・カタマリをつくり,外側の関数と中の小さな関数をとらえる
・外側から微分する
というポイントを押さえ一気に微分してもよいでしょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

  • ここで紹介している内容は2017年3月時点の情報です。ご紹介している内容・名称等は変わることがあります。

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