【複素数平面】複素数の極形式
解答の途中式で，なぜ－cosθ-i sinθ＝cos(θ＋π)+i sin(θ+π)になるのかがわかりません。
進研ゼミからの回答
こんにちは。頑張って数学の学習に取り組めていますね。
いただいた質問について、早速回答いたします。
【質問内容】
【問題】
次の複素数を極形式で表せ。
－3(cosθ＋isinθ)
【解答解説】から抜粋部分
極形式ではr＞0であるから、
－3(cosθ＋isinθ)＝3(－cosθ－isinθ)
＝3{cos(θ＋π)＋isin(θ＋π)}
ゆえに、
－3(cosθ＋isinθ)＝3{cos(θ＋π)＋isin(θ＋π)}･･････(答)
解答の途中式でなぜ－cosθ－isinθ＝cos(θ＋π)＋isin(θ＋π)になるのかがわかりません。
というご質問ですね。
【質問への解答】
まず、－3(cosθ＋isinθ)を変形して、
－3(cosθ＋isinθ)＝3(－cosθ－isinθ)･･･★
となることは大丈夫でしょうか？
極形式 r(cosθ＋isinθ)では、r＞0としなくてはいけないから、まずこの変形をします。
さらに次の【(θ＋π)の三角関数】を利用して変形していきます。
つまり上の★の式に、－cosθ＝cos(θ＋π),－sinθ＝sin(θ＋π)を代入すれば、
－3(cosθ＋isinθ)＝3(－cosθ－isinθ)
＝3{－cosθ＋i×(－sinθ)}
＝3{cos(θ＋π)＋isin(θ＋π)}
と式変形できます。
この問題は、－3(cosθ＋isinθ) を r(cosθ＋isinθ)という極形式に直す問題ですね。
極形式で表すには、その複素数を a＋bi と表したとき、複素数平面上にその点をとってみるとよいでしょう。
Pを原点Oに関して対称移動した点Qは、－3cosθ＋(－3sinθ)i となります。
したがって、点Qの動径はr＝3、偏角はθ＋πとなるので、
－3cosθ＋(－3sinθ)i＝3{cos(θ＋π)＋isin(θ＋π)}
と極形式で表せることになります。
【学習アドバイス】
複素数zの極形式z＝r(cosθ＋isinθ)において、
－zはzを原点のまわりにπだけ回転させた点である。
と考えることができます。
r＝｜Z｜(zの絶対値)だから、r＞0 となります。そこで、r＞0として式変形できるように練習しましょう。
また、極形式に直すときは、複素数平面に a＋bi を表す点(a,b)をとってみましょう。すると、原点からの距離rと偏角が見えてきますよ。
では、これからも『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。
