【２次関数】場合分けのやり方について
(ⅰ) 0<a<1 となってますが, 1はどこから出てきたのですか？
また、(ⅱ) 1≦a<2 の2も
どこから出てきたのですか？
進研ゼミからの回答
こんにちは。
では、早速、質問にお答えしましょう。
【質問の確認】
という、問題について、
【解答解説】
の(ⅰ)から(ⅳ)の場合分けについてですね。
【解説】
２次関数の最大最小は「軸と定義域の位置関係」で決まります。従って、今回のように、定義域に文字を含み、その位置関係が固定されていない時は、軸と定義域の位置関係で場合分けをする必要があります。
そこで求めているのが軸(x=1)で、場合分けにおける「１」とは、軸のx座標のことです。
また、場合分けにおける「２」とは、グラフとx軸との交点のx座標x=2のことなのです。
軸が求められたら、グラフの概形をかき、そのグラフ上でx=aを動かしてみましょう。
最大最小がどうなるかを見てみると、場合分けが見えてきますよ！
その際、ポイントとなるのは次の点です！上に凸の放物線では・・
最大値 → 定義域に軸が含まれる時、必ず頂点で最大となるから、定義域に軸を含むか含まないかで場合分けします
最小値 → 定義域の両端の点のどちらかで必ず最小になるから、両端の点のy座標の大小関係で場合分けします
すると、最大値を考えて、(ⅰ)0＜a＜1のとき(←定義域に軸を含まない場合)とa≧1のとき(←定義域に軸を含む場合)になりますが、最小値を考えると、「a≧1のとき」は更に・・
(ⅱ)1≦a＜2のとき と (ⅲ)a＝2のとき と (ⅳ)a＞2のとき に分けられることになります。
(ⅱ)～(ⅳ)については・・・
a=2のとき定義域の両端の点のy座標が等しくなることから、aが少しでも2よりも大きくなるか小さくなると両端の点のy座標は異なるので、その小さい方で最小となることから、(ⅱ)～(ⅳ)のような場合分けになるのです。
以上の点を踏まえて、解答をもう一度よ～く読んでみて下さいね。
【アドバイス】
以上で説明を終わりますが、どうでしょう・・分かりましたか？
「２次関数の最大最小は、軸と定義域の位置関係で決まる。だから、それが固定されていない時は、軸と定義域の位置関係で場合分けをする」ことをしっかり押さえましょう。今回は、定義域に文字が含まれていましたが、２次関数の式に文字を含む場合もあります。その時は、軸に文字を含むことになるので、やはり軸と定義域の位置関係で場合分けが必要になりますね！
